Twierdzenie Fouriera

Dowolny periodyczny ruch cząstki może być przedstawiony w postaci kombinacji liniowej ruchów harmonicznych prostych.

Aby wyrazić to w formie matematycznej, przyjmujemy, że ruch odbywa się względem współrzędnej t i jest opisany funkcją f(t) o okresie T.

f(t) = Ao +  Suma [An cos n(2*Pi/T)t + Bn sin n(2*Pi/T)t ].

Lewa strona równania przedstawia ruch złożony, prawa natomiast - sumę nieskończonej liczby ruchów harmonicznych o fazie początkowej zero (sinus) i 90 stopni (cosinus).

n jest liczbą naturalną 1,2,3,4...nieskończoność . Występuje ona jako wskaźnik współczynników  Fouriera An i Bn oraz jako mnożnik w argumentach funkcji sinus i cosinus .

Każdy n-ty wyraz sumy przedstawia ruchy harmoniczne o amplitudzie An i Bn oraz okresie T/n i nosi nazwę n-tej harmonicznej. Okresy kolejnych harmonicznych są 2,3,4... razy mniejsze, niż okres ruchu złożonego.

Wartości współczynników oblicza się metodami tzw. analizy fourierowskiej.

Argument t może oznaczać zarówno czas, jak i położenie w przestrzeni.

Im większa jest liczba składników, tym bardziej suma harmonicznych zbliża się do funkcji złożonej i osiąga dokładną zgodność z funkcją złożoną dla n dążącego do nieskończoności.


Funkcja jest periodyczna, jeżeli dla dowolnego t spełniona jest równość:
f(t) = f(t + T).


Cel programu

Celem programu jest pomoc w zrozumieniu twierdzenia Fouriera. Program przedstawia graficznie kolejne składowe harmoniczne, umożliwia prześledzenie operacji ich sumowania oraz porównanie wyniku sumowania z funkcją wyjściową. Jest to program interaktywny – użytkownik może wybierać wartość n i obserwować efekt w postaci wykresów.


n określa numer składowej harmonicznej lub liczbę składników sumy, zależnie od wykresu, do którego się odnosi.


Wykresy

1. Badana funkcja f(t) przedstawia wykres ruchu złożonego w zakresie –1.5*T < t <1.5*T. Linie pionowe wyznaczają środkowy przedział (-T,T).
Użytkownik może wybrać z listy funkcje o różnych kształtach i posiadających różne symetrie.

2. W środkowej części ekranu znajduje się pole edycji wartości n, od której zależy postać pozostałych wykresów.

3. n-ta harmoniczna  przedstawia składową harmoniczną odpowiadającą ustawionej wartości n.
Zależnie od symetrii funkcji może to być sinus, cosinus, obie na raz albo składowa zerowa.

4. Suma n harmonicznych jest wynikiem dodania składowych o numerach od 1 do n.

5. Widmo jest wykresem słupkowym pokazującym wartości amplitud składowych harmonicznych o numerach od 1 do n. W ramce poniżej widma podane są też wartości amplitud aktualnych składowych (dla wybranej wartości n).